Was ist der Grenzwert einer Folge?

TODO: Erklären, wieso man eine formale Definition in der Mathematik benötigt. [[Weiter mit dem Kurs|Formale Definition des Grenzwerts finden]]

TODO: Erklären, wieso es keine formale Definition ist. [[Weiter mit dem Kurs|Formale Definition des Grenzwerts finden]]

Deine Antwort: <%- s.givenDefinition %> Eine mögliche formale Definition ist: „Eine Folge §(a_n)_{n\in\mathbb N}§ hat den Grenzwert §a§, wenn es für jeden noch so kleinen vorgegebenen Maximalabstand §\epsilon > 0§ fast alle Folgeglieder einen Abstand kleiner als §\varepsilon§ vom Grenzwert haben. Sprich es gibt ein Folgeglied §a_N§, ab dem alle darauffolgenden Folgeglieder §a_n§ mit §n\ge N§ einen Abstand §|a-a_n|<\varepsilon§ vom Grenzwert §a§ haben.“ Dies können wir verkürzen: „Eine Folge §(a_n)_{n\in\N}§ hat den Grenzwert §a§, wenn es für alle §\varepsilon > 0§ ein Index §N\in\N§ gibt, so dass §|a-a_n|<\varepsilon§ für alle §n\ge N§ ist.“ Dies ist die Definition, wie du sie auch in Lehrbücher und Skripte findest.

Richtig, die Vorstellung „<%= s.chosenIntuition?.value %>“ ist zwar eine gute Intuition, sie reicht aber als formale Definition nicht aus. Wie könnte eine solche formale Definition aussehen? Starten wir hierzu mit der Intuition „<%= s.chosenIntuition?.value %>“ und versuchen wir, diese schrittweise zu konkretisieren. Dabei wird es uns helfen, den Fokus auf den Abstand §|a-a_n|§ zwischen den Folgengliedern und den Grenzwert zu legen. Dieser gibt an, wie groß jeweils der Unterschied bzw. der Fehler zwischen dem Folgeglied und dem Grenzwert ist. Wenn <%= s.chosenIntuition?.whenValue %>, dann muss dieser Abstand §|a-a_n|§ zwischen den Folgegliedern und dem Grenzwert beliebig klein werden. Was bedeutet das? [[Weiter|Formale Definition des Grenzwerts finden 2]]

Nehmen wir irgendeinen beliebig kleinen Maximalabstand §\varepsilon > 0§. Wenn <%= s.chosenIntuition?.whenValue %>, dann ist ab irgendeinen Folgeglied der Abstand §|a_n-a|§ kleiner als unser vorgegebener Maximalabstand. Sprich es gibt irgendein Index §N§ ab dem §|a_n-a|<\epsilon§ für alle Folgeglieder §a_n§ mit §n\ge N§ ist. Fast alle Folgenglieder haben einen Abstand vom Grenzwert kleiner als unseren vorgegeben Maximalabstand. Dabei ist es egal, wie klein wir §\varepsilon§ wählen. Wir können §\varepsilon = \tfrac{1}{1000}§ oder §\varepsilon=\tfrac{1}{1000000000}§ setzen. Jeweils unterscheiden sich fast alle Folgeglieder um weniger als das jeweilige §\varepsilon§ vom Grenzwert. Bei einem kleineren Maximalabstand §\varepsilon§ ist dies nur gegebenenfalls später in der Folge der Fall. Damit haben wir alles zusammen, um den Grenzwert formal zu definieren. Versuche selbst eine formale Definition des Grenzwerts zu formulieren: <textarea id="textarea-definition" rows=4 style="width: 100%" placeholder="Gebe deine Definition ein und drücke Enter" /> <script> function submit() { const value = $("#textarea-definition").val().trim() if (value) window.story.state.givenDefinition = value story.show("Formale Definition des Grenzwerts") } window.story.state.givenDefinition = "(Du hast keine Antwort gegeben)" $("#textarea-definition").keypress(function (event) { if (event.key === "Enter") submit(); }) $("a").click(submit) </script> [[Absenden|Formale Definition des Grenzwerts]]

Du hast gewählt: <%= window.story.state.chosenIntuition?.value %> Damit hast du eine gute intuitive Vorstellung vom Grenzwert. Liefert diese auch eine gute mathematische Definition des Begriffs? Sprich: Ist diese Vorstellung präzise genug, dass alle Personen den Grenzwertbegriff gleich verwenden und es keine Mehrdeutigkeiten gibt? * [[Nein, hierzu braucht es eine formale Definition des Grenzwerts|Formale Definition des Grenzwerts finden]] * [[Nein, aber eine intuitive Vorstellung reicht vollkommen aus|Erklärung, wieso es eine formale Definition braucht]] * [[Ja, es ist bereits eine formale Definition des Grenzwerts|Erklärung, wieso es keine formale Definition ist]]

Was ist die Intuition hinter dem Grenzwert einer Folge? Betrachten wir hierzu die Folge §a_n = \frac{1}{n}§. Die ersten 10 Folgenglieder sind: <img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/First_members_of_harmonic_sequence.svg" width=500 /> <p><small>Quelle: <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:First_members_of_harmonic_sequence.svg">https://commons.wikimedia.org/wiki/File:First_members_of_harmonic_sequence.svg</a></small></p> Rein intuitiv: Was ist deiner Meinung nach der Grenzwert dieser Funktion?  * [[§\frac 1{10}§|falscher_grenzwert]] * [[§0§|welche_intuition]] * [[§-\frac 1{10}§|falscher_grenzwert]] * [[Die Folge hat keinen Grenzwert|falscher_grenzwert]]

Die Antwort ist leider falsch. [[Probiere es noch einmal|Start]].

Deine Antwort: <%- s.givenIntuition %> Es gibt mehrere intuitive Erklärungen, wieso der Grenzwert der Folge §a_n=\tfrac 1n§ gleich §a=0§ ist. Welche der folgenden Erklärungen kommt deiner Antwort am Nähsten oder gefällt dir am Besten? * <a0 data-choice=1>Die Folge §a_n§ strebt gegen den Grenzwert §a§.</a> * <a0 data-choice=2>Die Folge §a_n§ kommt dem Grenzwert §a§ beliebig nahe.</a> * <a0 data-choice=3>Je größer §n§ ist, desto mehr nähert sich §a_n§ dem Grenzwert §a§ an.</a> * <a0 data-choice=4>Die Folge §a_n§ erreicht den Grenzwert §a§ im Unendlichen.</a> <script> $("a").click(function () { const choice = this.getAttribute("data-choice") ?? null window.story.state.chosenIntuition = { value: this.innerHTML, whenValue: getWhenValue(choice) } story.show("Nach Auswahl der Intuition") }); function getWhenValue(choice) { switch (choice) { case "1": return "die Folge §a_n§ gegen den Grenzwert §a§ strebt"; case "2": return "die Folge §a_n§ dem Grenzwert §a§ beliebig nah kommt"; case "3": return "sich die Folge §a_n§ mit größer werdenden §n§ immer mehr dem Grenzwert §a§ annähert"; case "4": return "die Folge §a_n§ den Grenzwert §a§ im Unendlichen erreicht."; } } </script>  <div->[[Nach Auswahl der Intuition]]</div>

Das ist richtig! Die Folge §a_n = \frac{1}{n}§ hat den Grenzwert §0§. Wieso hast du diese Zahl gewählt? <input type="text" style="width: 100%" id="input-intuition" placeholder="Gebe hier deine Antwort ein und drücke Enter" /> <script> function submit() { const value = $("#input-intuition").val().trim() if (value) window.story.state.givenIntuition = value story.show("intuition-choice") } window.story.state.givenIntuition = "(Du hast keine Antwort gegeben)" $("#input-intuition").keypress(function (event) { if (event.key === "Enter") submit(); }) $("a").click(submit) </script> [[Absenden|intuition-choice]]